基于黑白目桥法的离散数学教学理念改革

发布时间：2020-04-16所属分类：教育论文浏览：1次

摘 要： [摘要]离散数学是计算机专业的一门专业基础课程，但是由于其教学内容较抽象，导致学生无法充分理解并掌握理论的推导和证明逻辑，而且教师也难以凝练出切实可用的教学方法。对多届江苏大学计算机科学与通信工程学院的学生进行观察和访谈发现，离散数学学习存

　　[摘要]离散数学是计算机专业的一门专业基础课程，但是由于其教学内容较抽象，导致学生无法充分理解并掌握理论的推导和证明逻辑，而且教师也难以凝练出切实可用的教学方法。对多届江苏大学计算机科学与通信工程学院的学生进行观察和访谈发现，离散数学学习存在的最大问题是学生难以锁定证明目标，易惑于复杂的数据结构，进而无法搭建出正确、完整且清晰的证明逻辑。黑白目桥法是以目标导向法为指引，多次迭代使用黑盒理论、白盒理论和定义搭桥法，构造一套用于离散数学理论推导和证明的逻辑体系。教师将其应用于离散数学教学，可以帮助学生快速地提炼证明目标。

　　[关键词]离散数学;证明推理;目标导向法;定义搭桥法

　　一、引言

　　离散数学是研究离散结构及其性质的学科。计算机中存储和处理的数据皆是离散型的(比如，数值、文字、图像、声音、视频等)，[1]因此，离散数学是计算机学科的重要专业基础课。[2-3]离散数学的主要教学内容包括数理逻辑、集合论、代数系统和图论。[4]这些内容为计算机学科的主干课程，如编译原理、数据结构、算法设计与分析、密码学等，提供了重要支撑。因此，学习离散数学对于培养计算机专业学生系统设计、问题分析与求解等方面的能力具有非常重要的作用。[5]

　　但是离散数学的教学存在诸多问题。第一，离散数学课时少但课程内容多，包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论四个部分，而且这四部分内容在表面上又是相对独立的。第二，离散数学的内容偏于抽象数学理论，在学习过程中学生认为其较为枯燥和困难。大部分学生对课程内容一知半解，而教师则往往疲于讲解数学理论的推导和证明，忽视对教学思想的凝练。[6]以上存在的问题影响了学生对离散数学证明逻辑的掌握，更严重的是影响学生后继课程的学习，不利于计算机专业人才的培养。因此，让学生在有限课时内牢固掌握推理逻辑，是离散数学教学任务的重中之重。经过广泛的调查和研究，笔者发现基于目标导向的教学模式在一定程度上能够帮助训练学生快速定位证明目标的思维方式。学生在后继学习离散数学的过程中，能够剥茧抽丝，快速理解并掌握相关理论的证明和推导，进而推广到其他学科的学习以及计算机工程应用领域中。

　　目标导向理论由加拿大学者豪斯于20世纪70年代提出，在现代大学教育中被广泛应用。该理论认为要达到任何一个目标都必须经过目标行为，而要进入目标行为又必须先经过目标导向行为。颜海波等以目标导向为指引，围绕培养学生掌握知识、获取能力这一目标，对课程知识群编制进行了研究。[7]叶苗苗按照目标导向的理念，系统地构建了“基于目标导向的一体化人才培养体系”，在一定程度上优化了高等院校现有的人才培养体系。[8]目标导向不仅仅可用于大学教育，还可以用于中小学教育，具有普适性。赵伟新以小学自然为例，使用目标导向法展示了学生课堂活动设计。[9]沈松权以“等腰三角形”课例研究为例，基于目标导向法说明如何在课堂教学活动中落实数学深度思考，形成数学核心素养。[10]吴书谈针对当前信息技术教育存在的问题，基于目标导向法提出了一些改善信息技术课堂教学效果的策略。[11]丹麦奥尔堡大学从建校至今，一直以基于目标的学习方法实施教学，在学生培养质量上取得了显著效果。

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　　但是在离散数学的具体教学过程中，仅仅运用目标导向法是不足够的。离散数学教学主要存在两个难点问题:第一，如何锁定证明目标;第二，如何在证明目标和目标行为之间进行嫁接。目标导向法只能解决第一个问题。为了同时解决这两个问题，本文以目标导向法为主体，结合黑盒理论、白盒理论和定义搭桥法，提出一套全新的离散数学教学新理念，简称“黑白目桥法”。黑白目桥法教学理念在一定程度上解决了学生的推理和证明困难，并激发了学生对黑白目桥法的思考和衍生应用。笔者在计算机学院多个年级的离散数学教学中进行了试验，学生的学习反馈结果证明了该方法的有效性，而且该教学理念因简单易懂而广受学生的欢迎。

　　二、黑白目桥法的思想

　　黑白目桥法是以目标导向法为指引，多次迭代使用黑盒理论、白盒理论和定义搭桥法，构造一套用于离散数学理论推导和证明的逻辑体系，其执行算法主要包括5个步骤，如下所示。

　　步骤1:采用黑盒理论，提炼出证明目标。步骤2:采用定义搭桥法，搭建出证明框架。步骤3:若出现证明子目标，则执行步骤2;否则执行步骤4。步骤4:采用白盒理论，填充证明框架。若出现证明子目标，则执行步骤2;否则执行步骤5。步骤5:证明结束。

　　下面将以实例来详细介绍黑白目桥法及执行流程。

　　三、黑白目桥法详解

　　本节将描述目标导向法、黑盒理论、定义搭桥法和白盒理论这四种基础知识，并举例说明在离散数学理论证明和推导中如何应用黑白目桥法。

　　(一)目标导向法

　　目标导向法也称为问题导向法，其思想是:首先寻找有价值或有意义的目标(问题)，然后以目标为导向，通过有意识和无意识两种方法深度发掘目标后面的知识点、重难点及整个知识体系，通过解决问题或建立知识架构的方式完成整个过程。目标导向有两种形式，一种是有意识的目标导向，另一种是无意识的目标导向。其中，有意识的目标导向适用于专业课程类，学生主动、有意识地寻找问题及背后的知识，而不是无意识发现问题后才临时做进一步的研究。

　　目标导向非常有效，可以减少大量无用功，直奔目标，而且只要对目标有初步了解就能建立知识间的联系和知识构架。但该理论在离散数学教学过程中执行起来有困难，尤其是在寻找目标方面，需要学生站在一定高度去思考问题。下面将介绍黑盒理论，并用该理论引导学生以俯视或者旁观者的视角来锁定目标。

　　(二)黑盒理论

　　最初，黑盒理论主要用于软件测试。黑盒理论测试法是把测试对象看作一个不能打开的黑盒子，测试人员完全不考虑测试对象内部逻辑结构的特性，仅依据规格说明书，检查测试对象是否符合它的功能说明。因此，黑盒测试也称功能测试。[12]在离散数学教学过程中，本文将黑盒理论应用于证明目标的提炼上，举例如下。

　　例1[4]:设R在集合A上是一个二元等价关系，设S={|对于某一c，有∈R且∈R}，证明:S在集合A上也是一个等价关系。

　　学生在证明此题时，很容易被关系S的内部复杂结构所吸引，进而丢失目标，迷失方向。这时任课老师应该指导学生跳出对S内部复杂结构的关注，将关系S看作一个黑盒，先不用纠结于S的数据内部构成，帮助学生锁定证明目标:“S在集合A上是一个等价关系”。该证明目标就如茫茫海洋上的指明灯，提供了证明方向。接下来，通过定义搭桥法搭建出该证明目标的具体框架。

　　(三)定义搭桥法

　　搭桥法是指在前提与目标之间存在明显跳跃性时建立联系的一种方法。[13]定义搭桥法作为搭桥法的衍生物，是在搭桥法基础上，基于已有定义在前提和目标之间建立关系的一种方法。如上一节的例1所示，根据等价关系的定义(见定义1)，将原来的证明目标“S在集合A上是一个等价关系”转化为“S在集合A上是自反、对称和传递的”。上述目标转化的过程就是依据已有定义1，在大目标“等价关系”与三个子目标“自反”“对称”和“传递”之间搭起了桥梁，即定义搭桥法。

　　定义1[4]:设S是定义在集合A上的一个关系，若S是自反的、对称的和传递的，则S称为集合A上的等价关系。

　　在上述实例中，定义搭桥法可以将一个难解目标分解为三个子目标，而这三个子目标的求解则是分别基于自反关系、对称关系和传递关系的定义再次使用定义搭桥法进行目标转化，最终搭建出如表1所示的证明框架。一般来说，实践证明推导过程，根据目标分解的层次会多次使用定义搭桥法。

　　至此，例1的证明框架已经搭建完成，如表1所示。其中。。。，标记了待填充部分，所需要填充的内容是为了从前提可以完美蕴含推出相应的结论，即从“若”后面的前提完美过渡到“则必有”后面的结论。下面讲述如何应用白盒理论来填充证明框架，使证明过程变得完整。

　　(四)白盒理论

　　白盒理论也多用于软件测试。白盒理论测试方法也称为结构测试法或逻辑驱动测试法，是基于测试对象的内部逻辑知识，允许测试人员对程序内部逻辑结构及有关信息来设计和选择测试用例，发现其内部代码在算法、溢出、路径、条件等中的缺点或错误，进而加以修正。如果说黑盒理论应用的视角来自旁观者，那么白盒理论应用的视角就是来自当局者。

　　本文在证明过程中，使用白盒理论来填充证明框架，使得整个证明的逻辑完整化，这就要求学生了解数据对象的内部结构。例如，例1中的数据S的内部结构为{|对于某一c，有∈R且∈R}。下面本文依旧采用例1，讲述如何填充证明框架表1中第一个子目标“自反关系”的证明过程，如下所示。

　　自反关系填充思路如下:

　　1.观察表1，出现了新的证明目标是∈S;

　　2.根据S的定义，欲证∈S，需证明存在一个元素c，满足∈R且∈R(定义搭桥法)。

　　3.很容易得出:当c=x时，满足∈R且∈R，因为R在A上自反。

　　4.回顾2，可得∈S。

　　至此自反关系的填充就完成了，如表2所示。另外两个子目标(“对称关系”和“传递关系”)的证明过程在逻辑上和上述自反关系类似，本文就不予以赘述了。至此大目标“S在集合A上是一个等价关系”的证明就完成了。

　　仔细观察可以发现，上述三个子目标的推理证明过程又各是一次黑白目桥法的应用。为了便于理解，上述证明过程总结如图1所示，与第2节中的黑白目桥法执行算法流程相一致。

　　离散数学是计算机专业的一门重要专业基础课程，它与计算机专业的相关课程密切相关。本文针对离散数学教学中普遍存在的逻辑推理证明学习困难的现状，以目标导向法为指引，结合黑盒理论、白盒理论和定义搭桥法，提出一套新颖的基于黑白目桥法的离散数学教学理念，并通过实例具体阐述了黑白目桥法的应用过程。该教学理念使得离散数学的逻辑推理证明过程有法可依，条理清晰;使学生易于理解掌握，激发了学生的学习兴趣;更重要的是对学生其他学科的学习以及实际工程问题的解决具有良好的启发作用，达到了培养具有良好逻辑思维能力和实际应用能力的计算机专业人才的目标。