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数学建模思想驱动下的概率论与数理统计课程教学研究

发布时间:2018-11-22 15:26所属分类:教育论文浏览:1

摘要:文章分析了《概率论与数理统计》这门的课程的特点,讨论了数学建模思想引入课堂的可行性,并引入两个以数学建模思想为载体利用概率论与数理统计知识解决实际问题的案例。 关键词:概率论与数理统计,数学建模思想,教学案例 引言 《概率论与数理统计》是

  摘要:文章分析了《概率论与数理统计》这门的课程的特点,讨论了数学建模思想引入课堂的可行性,并引入两个以数学建模思想为载体利用概率论与数理统计知识解决实际问题的案例。

  关键词:概率论与数理统计,数学建模思想,教学案例

  引言

  《概率论与数理统计》是研究与揭示随机现象规律的一门学科,其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中,如预测和滤波应用于空间技术和自动控制,时间序列分析应用于石油勘测和经济管理,马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等。同时《概率论与数理统计》也是高等学校工科、经管类专业必修的三大数学基础课之一,但因其内容具有一定的抽象性,并且需要《高等数学》作为基础,所以学生在学习这门课的时候普遍觉得比较困难,晦涩难懂,没有多大的学习动力,根本原因在于理论脱离了实践,重理论轻应用。

  为了增加学生学习《概率论与数理统计》这门课程的动力,很多学者至力于研究如何增加这门课的趣味性以及应用性。沙秀艳和辛杰[1]提出了“案例教学法”使学生透过案例,结合数学建模思想以及相应的软件能够主动的参与到课堂之中。赦秀芝等[2]提出了“实验教学”方法,通过实验环节,增强学生对知识的理解。方茹等[3]也提出了“案例教学法”,教师通过案例来学生积极的参与,增加与学生的互动性,从而加强学生对知识的理解。本文旨在寻找有趣的、贴近生活的概率论与数理统计模型,融入数学建模的思想,使学生在分析问题、解决问题的过程中明白《概率论与数理统计》的原理及其重要性。

  一、数学建模思想融入概率论与数理统计课堂的可行性

  数学建模是从实际问题入手,在深入观察、研究问题,作出简化假设、分析内在规律的基础上,用数学的符号和语言作表述来建立数数学模型。《概率论与数理统计》中的很多内容是利用高等数学的知识和随机现象的规律建立起来的模型,如一维随机变量的分布函数就是利用高等数学中的分段函数来描述的;二维连续型随机变量的概率是概率密度在所求区域上的二重积分;极大似然估计利用样本与总体之间的关系建立数学模型,并利用一、二元函数的极值方法,求取参数的点估计。因此在讲授课程时可以利用内容的特点,引导学生明白知识体系的建构过程,即利用数学建模的思想将知识展现在学生面前。

  二、数学建模思想融入概率论与数理统计的案例

  为了使学生掌握《概率论与数理统计》的内容,降低知识高度抽象性,选取案例时应以有趣且贴近生活的案例为主。在解决问题时引入数学建模的思想,培养学生观察问题、分析问题、利用数学知识解决问题的能力。

  (一)贝叶斯公式的教学案例

  周六你想和朋友相约赴黄山旅游,天气预报是多云,请你用概率的方法判断周六的天气状况。分析:本案例要确定周六的天气状况,虽然有天气预报提供帮助,但天气预报未必准确,因此就要求我们在天气预报预测的基础上对周六的天气进行预测。

  解:设A:“天气预报多云”,B:“实际下雨”,C:“实际下雨时天气预报多云”我们知道周六的天气预报为多云,求周六下雨的概率即要求P(B/A),此为后验概率,不太好求,因近期的天气变化不会太大,根据以往的规律我们可以求得P(A/B)、P(A)和P(B),利用贝叶斯公式P(B/A)=P(B)P(A/B)P(A)可求得P(B/A)的值。2拟合检验表我们观测近一个月的天气预报情况和实际情况可以得到P(A/B)、P(A)和P(B),若假设P(A/B)=25、P(A)=35和P(B)=12,可以得到P(B/A)=13,小于12,故周六可以去旅游。

  (二)随机分布及假设检验教学案例

  全国大学生数学建模2009(B)题:眼科病床的合理安排[4]问题三:作为病人,自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院的统计情况,在病人门诊时即告诉其大致入住时间区间。分析:如果医生在病人就诊时就告诉病人入住时间且使得医院的病床利用率最高,医生需要知道眼科各类病人到达医院服从什么样的分布,以及眼科各类病人在医院的逗留时间--病人从入院到出院的时间,服从什么分布。确定随机变量的分布之后可以给病人一个置信度为95%的预约住院时间区间,且区间长度越短越好。

表1

  解:以单眼白内障门诊数为例,表1为单眼白内障病人每天就诊数。其中i表示每天就诊i个白内障单眼病人;fi表示每天就诊i个病人的天数fi利用x2拟合检验法检验白内障单眼病人每天就诊数是否符合泊松分布?H0:总体服从泊松分布因在H0中参数λ的值未具体给出,所以先估计λ,由极大似然估计可得λ^=1.2,所以:

图1

  因np^i的值不能过小,所以对有些np^i<5的值进行合并,使得每组均有np^i叟5。并组后,x2的自由度为4-1-1=2,x20.05(2)=5.992,现在x2=67.3412-62=5.3412<5.992,故在显著水平为0.05下接受原假设,即病人到达医院的时间服从参数为1.2的泊松分布。接下来分析单眼白内障病人在医院的逗留时间服从什么分布,从所给的数据中获取67个单眼白内障病人的在医院的逗留时间如下表3所示。

表2

表3

 

  其中i表示白内障单眼病人在医院逗留天数;fi表示在医院逗留i天的白内障病人的人数设H0:总体服从正态分布因在H0中参数μ,σ的值均未具体给出,所以先估计μ,σ的值,由极大似然估计计算可得μ=5.23,σ=1.43,所以单眼白内障病人逗留医院天数i的概率密度为:

图3

图1

  三、结束语

  《概率率论与数理统计》是一门应用非常广泛的学科,在学习这门课时,需要学生有较好的数学基础,若单纯的从知识的角度去授课,必然使内容变得的非常抽象、学生学习没有动力,引入恰当的案例和数学建模的思想使学生亲身体会知识的建构过程,在解决问题的同时掌握知识,学以致用。

  参考文献:

  [1]《概率论与数理统计》教学实践与探索[J].大学数学,2013,29(4):9-12.

  [2]《概率论与数理统计》教学教学改革研究[J].大学数学,2009,11(3):109-112.

  [3]谈案例教学法在概率论与数理统计教学中的应用[J].大学数学,2014,30(1):59-62.

  [4]中国大学数学建模网站[Online].Available:http://mcm.edu.cn/.html.

  [5]林乐义.建模思想融入概率论与数理统计教学的探究[J].高教学刊,2016(10):94-95.

  [6]余国胜,危合文,刘军.概率论与数理统计教学方法的研究[J].高教学刊,2017(08):59-60.

  [7]黄丽容.普通高校概率论与数理统计教学之体会[J].高教学刊,2016(04):95-96+98.

  数学方向教育期刊推荐:《大学数学》College Mathematics(双月刊)曾用刊名:工科数学,1984年创刊,是经科技部批准,由教育部主管,教育部数学与统计学教学指导委员会、高等教育出版社、合肥工业大学主办的全国性以教学为主的数学刊物。

  

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